En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto ${\displaystyle A\,}$ en el que se ha definido una operación matemática ${\displaystyle \circledcirc }$, que anotamos: ${\displaystyle (A,\circledcirc )\,}$, siendo la operación ${\displaystyle \circledcirc }$, interna en ${\displaystyle A\,}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$

Con elemento neutro ${\displaystyle e\,:}$

${\displaystyle \exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a}$

Se dice que un elemento ${\displaystyle a\in A}$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ si:

${\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e}$

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ si:

${\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e}$

elemento simétrico respecto de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

${\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e}$

Un elemento simétrico ${\displaystyle {\bar {a}}}$ de ${\displaystyle A\,}$ es simétrico por la derecha del elemento ${\displaystyle a\,}$ y simétrico por la izquierda del elemento ${\displaystyle a\,}$.